Logaritmo Natural

Antes de ver la definición de logaritmo natural, vamos a hablar un poco acerca del mismo. Se trata de un logaritmo que suele ser llamado también logaritmo neperiano, que aunque son logaritmos parecidos, son en realidad conceptos con diferencias. Cuando se habla de un logaritmo natural en las ciencias matemáticas, se está hablando de un logaritmo que tiene como base al número $e$.

Este es un número irracional que tiene como valor aproximado a 2,71828182845904523536. Entonces, el logaritmo natural de un número es la potencia a la cual debe ser elevado el número e para lograr conseguir el valor de tal número. Por ejemplo, tenemos el número 20.08553692318766774092216 y su logaritmo es 3 porque $e^{3}=20.08553692318766774092216$. Y también se puede decir que el logaritmo de $e$ es $1$ porque $e^{1}=e$.




Qué es un Logaritmo natural?

Los logaritmos naturales fueron descubiertos por Nikolaus Merkator quien menciona este tipo de logaritmos en un trabajo realizado en 1668, donde lo llamaba logaritmo hiperbólico, pues al graficar su función se obtenía un área dentro de una hipérbola. Y en ocasiones también se lo conoce como logaritmo neperiano, aunque sus conceptos sean un poco distintos.

Logaritmo Natural
Imagen: Logaritmo Natural, f(x) = ln(x)

El Logaritmo Natural

El logaritmo natural se define como

$\ln x$ $\Leftrightarrow$ $e^{y}=x$

El logaritmo natural tiene sus inicios cuando se dieron cuenta que otros números reales enteros positivos, eran más difíciles de calcular en un logaritmo cuando se los utilizaba como base del mismo logaritmo. Por ejemplo, el número 10 puede sonar mucho más “natural” que 2,718281828… que es el número $e$, sin embargo, este último es más natural cuando se lo utiliza dentro de una ecuación ya que simplifica el proceso. Alguien que ya conozca los logaritmos con relativa soltura podrá afirmar que este número en realidad, se trata de algo natural ante los ojos de un matemático. Se puede realizar un ejemplo para comprobar que esto es así, teniendo en cuenta la siguiente ecuación.

$\frac{d}{dx} log_b(x)=\frac{1}{dx} \bigg(\frac{1}{ln(b) }ln x \bigg)=\frac{1}{ln(b)}\frac{d}{dx}ln x=\frac{1}{x ln (b)}$

Entonces, si reemplazamos $b$ por el número $e$, se obtiene que la derivada es nada más que $\frac{1}{x}$ y, luego en, $x=1$, para finalmente obtener una derivada igual a 1.

El logaritmo natural de 1, se trata de una fórmula matemática bastante simple. En realidad, el logaritmo natural de 1 es 0, y un logaritmo de 1 con base en cualquier número entero positivo, siempre va a ser 0 ya que cualquier número elevado a la potencia 0 nos da como resultado 1.

El logaritmo natural de 2, por otro lado es bastante complicado, ya que el valor decimal de este es aproximadamente 0.69314718056 y podría seguir hasta el infinito, es por esto que llamamos aproximado a este valor. Y se obtiene tras realizar la siguiente fórmula:

$log_b 2 = \frac{ln2}{lnb}$.

Propiedades Logaritmo Natural

Entre las propiedades del logaritmo natural tenemos algunos elementos que en aritmética pueden ser de mucha utilidad al momento de realizar operaciones:

El logaritmo natural de 1 es igual a 0, porque cualquier número elevado a 0 es igual a 1:

$ln(1)=0$

El logaritmo de -1 es igual a $\pi$, pero con la diferencia de que entra en la línea de los números imaginarios:

$ln(-1)=i \pi$

El logaritmo de un número es menor que otro, siempre y cuando el primer número sea mayor que $0\hspace {3px}$ y el segundo número sea mayor que el primero también.

$ln(x)$ < $ln(y)\hspace {3px}$ para 0 < x < y
 
Lo mismo si lo que deseamos es que el logaritmo sea mayor o igual que -1:

$\frac{h}{1+h} \leq ln(1+h) \leq h\hspace {3px}$ para $h>-1$

Y una última propiedad:

$\lim_{x \to 0} \frac{ln(1+x)}{x} = 1$

Derivada de Logaritmo Natural

La derivada de un logaritmo natural se obtiene al derivar la función y luego dividirla por la función. La fórmula quedaría de la siguiente manera:

$f(x)=ln\hspace {3px} u$
$f^{\prime}(x)=\frac{u ^{\prime}}{u}$

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3 comments on “Logaritmo Natural
  1. genner dice:

    esta muy interesante y afcil de comprender

  2. José silva dice:

    ¿De que otra forma podría escribir la expresión -ln|1+x|?

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