Propiedades de Logaritmos

Las propiedades de logaritmos se ven afectadas, en primer lugar por las leyes de los logaritmos, estas muchas veces son llamadas en matemática como identidades logarítmicas. En primer lugar, si ya estuviste leyendo el artículo principal de esta página con información general sobre el logaritmo, entonces ya debes saber que un logaritmo de un número, es una cifra que se obtiene al elevar una base a dicha cifra para obtener el número. Para que quede más claro acerca de las propiedades de logaritmos, se puede realizar una pequeña fórmula sobre el logaritmo:

$\log_a x = y \Rightarrow a^y = x$




Esto quiere decir que $y\hspace {3px}$ es el logaritmo de $x\hspace {3px}$ con base de $a$, ya que si elevamos $a\hspace {3px}$ a la potencia de $y$, se obtiene el número que reemplaza a $x$. Sin embargo, las leyes de logaritmos se definen solamente si se cumple las siguientes 2 condiciones:

$a > 0\hspace {3px}$ y $a \neq -1$

A partir de esta definición podemos luego ver algunas propiedades de logaritmos simples:

$\not\equiv \log_{-a} x $

Esto es inexistente, también el logaritmo no se puede obtener de un número negativo.

$\not\equiv \log_a (-x)$

No existe el logaritmo de cero, ya que ningún número potenciado da igual a 0.

$\not\equiv \log_a 0$

El logaritmo de 1 es igual a 0, porque cualquier número elevado a 0 es igual a 1.

$\log_a 1=0$

El logaritmo en base a de a es igual a 1. Es decir que si el número del logaritmo es igual a su base, la respuesta es igual a 1, ya que cualquier número elevado a la potencia de 1, es igual al mismo número.

$\log_a a =1$

Y finalmente, el logaritmo con base a de una potencia con base a es igual al exponente. Esto se explica mejor con una pequeña fórmula:

$\log_a a^n=n$

A continuación explicaremos el cambio de base y las identidades logarítmicas. Sigue leyendo sobre las propiedades de logaritmos:

Cambio de Base Logaritmo

El cambio de base logaritmo es muy importante para resolver ecuaciones y calcular los logaritmos! Con $log \hspace {3px}x =\hspace {3px}$ logaritmo con base 10, ${lb\hspace {3px} x =\hspace {3px}}$ logaritmo binario y $\ln \hspace {3px} x =\hspace {3px}$ el logaritmo natural los cambios de base logaritmos son:

$\log_a x = \frac{ln\hspace {3px} x}{ln\hspace {3px} a} = \frac{log\hspace {3px} x}{log\hspace {3px} a}= \frac{lb\hspace {3px} x}{lb\hspace {3px} a}$

$\log\hspace {3px} x = \frac{ln\hspace {3px} x}{ln\hspace {3px} 10} = \frac{lb\hspace {3px} x}{lb\hspace {3px} 10}$

$\ln \hspace {3px} x = \frac{lg\hspace {3px} x}{lg\hspace {3px} e} = \frac{lb\hspace {3px} x}{lb\hspace {3px} e}$

$lb \hspace {3px} x = \frac{lg\hspace {3px} x}{lg\hspace {3px} 2} = \frac{ln\hspace {3px} x}{ln\hspace {3px} 2}$

Identidades Logarítmicas

Las identidades logarítmicas (propiedades de logaritmos o leyes de logaritmos) se utilizan para simplificar las operaciones que se pueden complicar al realizar paso a paso las ecuaciones logarítmicas en las operaciones aritméticas. Y se pueden encontrar en diferentes operaciones. A continuación se puede encontrar las operaciones simples con logaritmos.

Suma de Logaritmos

Para el logaritmo de una suma es tenemos la identidad suma de logaritmos:

$\log_a (x) + \log_a(y) = \log_a (xy)\hspace {3px}$ debido a que en la potenciación $a^x \cdot a^y=a^{x+y}$

Logaritmo de un Producto

Encontramos que la multiplicación de los numerales de logaritmos se pueden separar en una suma entre logaritmos, con la siguiente identidad explicativa producto de logaritmos:

$\log_b (xy) = \log_b (x) + \log_b(y)\hspace {3px}$ debido a que en la potenciación $b^x \cdot b^y=b^{x+y}$

Resta de Logaritmos

Para la resta de logaritmos tenemos la identidad resta de logaritmos:

$\log_a (x)- \log_a (y)=\log_a (\frac{x}{y})$, y esto se debe a que en la potenciación, $\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$

Logaritmo de un Cociente

Del mismo modo que la multiplicación de logaritmos se relaciona con la suma, la división se relaciona con la resta. Aquí esta la identidad logaritmo de un cociente:

$\log_b (\frac{x}{y})= \log_b (x)- \log_b (y)$, y esto se debe a que en la potenciación, $\frac{b^x}{b^y}=b^{x-y}$

Logaritmo de una Potencia

Para la potenciación se obtiene la identidad logaritmo de una potencia:

$\log_b (x^y)=y\log_b (x)\hspace {3px}$ esto es porque en las propiedades de la potenciación se cumple que $(b^n)^y =b^{ny}$

Logaritmo de una Raiz

También existe una identidad de la radicación logaritmo de una raiz donde:

$\log_b (\sqrt[y]{x})=\frac{log_b (x)}{y}\hspace {3px}$ y esto tiene que ver con la propiedad de la radicación donde $\sqrt[y]{x}=x^{\frac{1}{y}}$

Cancelación de Exponentes

Existe un caso donde los exponentes pueden cancelarse donde los logaritmos y exponenciales tienen la misma base, lo cual los convierte en antilogaritmos, estos se dividen en dos casos a su vez:

$b^{\log_b (x)} = x$
$\log_b (b^x) = x$

Esto pone fin a las propiedades de logaritmos. La información proporcionada en esta página se llama también reglas de logaritmos.

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